1. 冲激函数.

法一：比较 $t \ne 0$ 和 $t = 0$ 时等式两端的函数值，均相等，从而得证.

备注：法一是有缺陷的，对于冲激偶函数并不适用. 我们应该从冲激函数的定义出发.

法二：由 $\inti \dfrac{f(t)}{f(0)} \delta(t) \dt = 1$，且 $t \ne 0$ 时被积函数为 0，于是被积函数满足冲激函数的定义，即 $\dfrac{f(t)}{f(0)} \delta(t) = \delta(t)$.

2. 冲激函数高阶导数.

假设对于某个正整数 $n$, 有

对左式求导, 有

对右式求导, 有

由 $\mathrm{LHS' = RHS'}$, 有

其中用到了

因此上述筛选性质对 $n + 1$ 也成立. 从而筛选性质得证.